Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{4})$

Paso 2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño $4$ es la matriz cuadrada $4 \times 4$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en $p (λ) = determinante (A - λ I_{4})$ .

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Paso 3.1

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] - λ I_{4})$

Paso 3.2

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{4}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $- λ$ por cada elemento de la matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.4

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.4.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.4.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.5

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.5.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.5.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.7

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.7.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.7.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.8

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.8.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.8.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.9

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.9.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.9.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.10

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.10.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.10.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.11

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.12

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.12.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.12.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.13

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.13.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.13.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.14

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.14.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.14.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.15

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.15.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.15.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.16

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Paso 4.2

Suma los elementos correspondientes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Paso 4.3

Simplify each element.

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Paso 4.3.1

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.3

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.4

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.5

Suma $1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.6

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.7

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 0 + 0 & 1 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.8

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.9

Suma $1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.10

Suma $1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.11

Suma $1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.12

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 - λ \end{array}]$

Paso 5

Find the determinant.

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Paso 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Paso 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Paso 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.9

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 0 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Paso 5.1.10

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 0 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Paso 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 0 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Paso 5.2

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 0 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

Paso 5.3

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 0 & 1 - λ \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 1 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} |$ .

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Paso 5.4.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Paso 5.4.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 5.4.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 5.4.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$

Paso 5.4.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$

Paso 5.4.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Paso 5.4.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Paso 5.4.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} |$

Paso 5.4.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} |$

Paso 5.4.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} |) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.2

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.3

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$ .

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Paso 5.4.3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) ((1 - λ) (1 - λ) + 0 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.3.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.3.2.1.1

Expande $(1 - λ) (1 - λ)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.4.3.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 (1 - λ) - λ (1 - λ) + 0 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.3.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ (1 - λ) + 0 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.3.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) + 0 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.3.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.4.3.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.3.2.1.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) + 0 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.3.2.1.2.1.2

Multiplica $- λ$ por $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 - λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) + 0 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.3.2.1.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 - λ - λ - λ (- λ) + 0 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.3.2.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.3.2.1.2.1.5

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 5.4.3.2.1.2.1.5.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.3.2.1.2.1.5.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.3.2.1.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 - λ - λ + 1 λ^{2} + 0 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.3.2.1.2.1.7

Multiplica $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 - λ - λ + λ^{2} + 0 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.3.2.1.2.2

Resta $λ$ de $- λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 - 2 λ + λ^{2} + 0 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.3.2.1.3

Multiplica $0$ por $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 - 2 λ + λ^{2} + 0) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.3.2.2

Suma $1 - 2 λ + λ^{2}$ y $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 - 2 λ + λ^{2}) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.3.2.3

Mueve $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (- 2 λ + λ^{2} + 1) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.3.2.4

Reordena $- 2 λ$ y $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1) - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.4

Evalúa $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$ .

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Paso 5.4.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1) - 1 (0 (1 - λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.4.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.4.2.1.1

Multiplica $0$ por $1 - λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1) - 1 (0 - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.4.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1) - 1 (0 - 1) + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.4.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1) - 1 \cdot - 1 + 0) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.5

Simplifica el determinante.

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Paso 5.4.5.1

Suma $(1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1) - 1 \cdot - 1$ y $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1) - 1 \cdot - 1) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.5.2.1

Expande $(1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$p (λ) = (1 - λ) (1 λ^{2} + 1 (- 2 λ) + 1 \cdot 1 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot 1 - 1 \cdot - 1) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.5.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.5.2.2.1

Multiplica $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} + 1 (- 2 λ) + 1 \cdot 1 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot 1 - 1 \cdot - 1) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.5.2.2.2

Multiplica $- 2 λ$ por $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 \cdot 1 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot 1 - 1 \cdot - 1) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.5.2.2.3

Multiplica $1$ por $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot 1 - 1 \cdot - 1) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.5.2.2.4

Multiplica $λ$ por $λ^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.4.5.2.2.4.1

Mueve $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 - (λ^{2} λ) - λ (- 2 λ) - λ \cdot 1 - 1 \cdot - 1) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.5.2.2.4.2

Multiplica $λ^{2}$ por $λ$ .

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Paso 5.4.5.2.2.4.2.1

Eleva $λ$ a la potencia de $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot 1 - 1 \cdot - 1) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.5.2.2.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 - λ^{2 + 1} - λ (- 2 λ) - λ \cdot 1 - 1 \cdot - 1) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.5.2.2.4.3

Suma $2$ y $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 - λ^{3} - λ (- 2 λ) - λ \cdot 1 - 1 \cdot - 1) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.5.2.2.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ \cdot λ - λ \cdot 1 - 1 \cdot - 1) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.5.2.2.6

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 5.4.5.2.2.6.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 (λ \cdot λ) - λ \cdot 1 - 1 \cdot - 1) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.5.2.2.6.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ^{2} - λ \cdot 1 - 1 \cdot - 1) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.5.2.2.7

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 - λ^{3} + 2 λ^{2} - λ \cdot 1 - 1 \cdot - 1) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.5.2.2.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 - λ^{3} + 2 λ^{2} - λ - 1 \cdot - 1) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.5.2.3

Suma $λ^{2}$ y $2 λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 2 λ + 1 - λ^{3} - λ - 1 \cdot - 1) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.5.2.4

Resta $λ$ de $- 2 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 3 λ + 1 - λ^{3} - 1 \cdot - 1) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.5.2.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 3 λ + 1 - λ^{3} + 1) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.5.3

Suma $1$ y $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 3 λ - λ^{3} + 2) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.5.4

Mueve $- 3 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - λ^{3} - 3 λ + 2) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.4.5.5

Reordena $3 λ^{2}$ y $- λ^{3}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2) + 0 + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 5.5

Evalúa $| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} |$ .

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Paso 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Paso 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Paso 5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Paso 5.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Paso 5.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- (1 - λ) | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Paso 5.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 5.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2) + 0 + 1 (0 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | - (1 - λ) | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 0$

Paso 5.5.2

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2) + 0 + 1 (0 - (1 - λ) | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 0$

Paso 5.5.3

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2) + 0 + 1 (0 - (1 - λ) | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0$

Paso 5.5.4

Evalúa $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$ .

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Paso 5.5.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2) + 0 + 1 (0 - (1 - λ) (0 (1 - λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0$

Paso 5.5.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.4.2.1.1

Multiplica $0$ por $1 - λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2) + 0 + 1 (0 - (1 - λ) (0 - 1 \cdot 1) + 0) + 0$

Paso 5.5.4.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2) + 0 + 1 (0 - (1 - λ) (0 - 1) + 0) + 0$

Paso 5.5.4.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2) + 0 + 1 (0 - (1 - λ) \cdot - 1 + 0) + 0$

Paso 5.5.5

Simplifica el determinante.

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Paso 5.5.5.1

Combina los términos opuestos en $0 - (1 - λ) \cdot - 1 + 0$ .

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Paso 5.5.5.1.1

Resta $(1 - λ) \cdot - 1$ de $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2) + 0 + 1 (- (1 - λ) \cdot - 1 + 0) + 0$

Paso 5.5.5.1.2

Suma $- (1 - λ) \cdot - 1$ y $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2) + 0 + 1 (- (1 - λ) \cdot - 1) + 0$

Paso 5.5.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2) + 0 + 1 ((- 1 \cdot 1 - - λ) \cdot - 1) + 0$

Paso 5.5.5.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2) + 0 + 1 ((- 1 - - λ) \cdot - 1) + 0$

Paso 5.5.5.4

Multiplica $- - λ$ .

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Paso 5.5.5.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2) + 0 + 1 ((- 1 + 1 λ) \cdot - 1) + 0$

Paso 5.5.5.4.2

Multiplica $λ$ por $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2) + 0 + 1 ((- 1 + λ) \cdot - 1) + 0$

Paso 5.5.5.5

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2) + 0 + 1 (- 1 \cdot - 1 + λ \cdot - 1) + 0$

Paso 5.5.5.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2) + 0 + 1 (1 + λ \cdot - 1) + 0$

Paso 5.5.5.7

Mueve $- 1$ a la izquierda de $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2) + 0 + 1 (1 - 1 \cdot λ) + 0$

Paso 5.5.5.8

Reescribe $- 1 λ$ como $- λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2) + 0 + 1 (1 - λ) + 0$

Paso 5.5.5.9

Reordena $1$ y $- λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2) + 0 + 1 (- λ + 1) + 0$

Paso 5.6

Simplifica el determinante.

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Paso 5.6.1

Combina los términos opuestos en $(1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2) + 0 + 1 (- λ + 1) + 0$ .

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Paso 5.6.1.1

Suma $(1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2)$ y $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2) + 1 (- λ + 1) + 0$

Paso 5.6.1.2

Suma $(1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2) + 1 (- λ + 1)$ y $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2) + 1 (- λ + 1)$

Paso 5.6.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.2.1

Expande $(1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$p (λ) = 1 (- λ^{3}) + 1 (3 λ^{2}) + 1 (- 3 λ) + 1 \cdot 2 - λ (- λ^{3}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 2 + 1 (- λ + 1)$

Paso 5.6.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.2.2.1

Multiplica $- λ^{3}$ por $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 1 (3 λ^{2}) + 1 (- 3 λ) + 1 \cdot 2 - λ (- λ^{3}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 2 + 1 (- λ + 1)$

Paso 5.6.2.2.2

Multiplica $3 λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} + 1 (- 3 λ) + 1 \cdot 2 - λ (- λ^{3}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 2 + 1 (- λ + 1)$

Paso 5.6.2.2.3

Multiplica $- 3 λ$ por $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 \cdot 2 - λ (- λ^{3}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 2 + 1 (- λ + 1)$

Paso 5.6.2.2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2 - λ (- λ^{3}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 2 + 1 (- λ + 1)$

Paso 5.6.2.2.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 2 + 1 (- λ + 1)$

Paso 5.6.2.2.6

Multiplica $λ$ por $λ^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.6.2.2.6.1

Mueve $λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 2 + 1 (- λ + 1)$

Paso 5.6.2.2.6.2

Multiplica $λ^{3}$ por $λ$ .

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Paso 5.6.2.2.6.2.1

Eleva $λ$ a la potencia de $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 2 + 1 (- λ + 1)$

Paso 5.6.2.2.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 2 + 1 (- λ + 1)$

Paso 5.6.2.2.6.3

Suma $3$ y $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 2 + 1 (- λ + 1)$

Paso 5.6.2.2.7

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2 + 1 λ^{4} - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 2 + 1 (- λ + 1)$

Paso 5.6.2.2.8

Multiplica $λ^{4}$ por $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2 + λ^{4} - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 2 + 1 (- λ + 1)$

Paso 5.6.2.2.9

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2 + λ^{4} - 1 \cdot 3 λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 2 + 1 (- λ + 1)$

Paso 5.6.2.2.10

Multiplica $λ$ por $λ^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.6.2.2.10.1

Mueve $λ^{2}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2 + λ^{4} - 1 \cdot 3 (λ^{2} λ) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 2 + 1 (- λ + 1)$

Paso 5.6.2.2.10.2

Multiplica $λ^{2}$ por $λ$ .

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Paso 5.6.2.2.10.2.1

Eleva $λ$ a la potencia de $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2 + λ^{4} - 1 \cdot 3 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 2 + 1 (- λ + 1)$

Paso 5.6.2.2.10.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2 + λ^{4} - 1 \cdot 3 λ^{2 + 1} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 2 + 1 (- λ + 1)$

Paso 5.6.2.2.10.3

Suma $2$ y $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2 + λ^{4} - 1 \cdot 3 λ^{3} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 2 + 1 (- λ + 1)$

Paso 5.6.2.2.11

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2 + λ^{4} - 3 λ^{3} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 2 + 1 (- λ + 1)$

Paso 5.6.2.2.12

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2 + λ^{4} - 3 λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ \cdot λ - λ \cdot 2 + 1 (- λ + 1)$

Paso 5.6.2.2.13

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 5.6.2.2.13.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2 + λ^{4} - 3 λ^{3} - 1 \cdot - 3 (λ \cdot λ) - λ \cdot 2 + 1 (- λ + 1)$

Paso 5.6.2.2.13.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2 + λ^{4} - 3 λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ^{2} - λ \cdot 2 + 1 (- λ + 1)$

Paso 5.6.2.2.14

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2 + λ^{4} - 3 λ^{3} + 3 λ^{2} - λ \cdot 2 + 1 (- λ + 1)$

Paso 5.6.2.2.15

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2 + λ^{4} - 3 λ^{3} + 3 λ^{2} - 2 λ + 1 (- λ + 1)$

Paso 5.6.2.3

Resta $3 λ^{3}$ de $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 2 + λ^{4} + 3 λ^{2} - 2 λ + 1 (- λ + 1)$

Paso 5.6.2.4

Suma $3 λ^{2}$ y $3 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 6 λ^{2} - 3 λ + 2 + λ^{4} - 2 λ + 1 (- λ + 1)$

Paso 5.6.2.5

Resta $2 λ$ de $- 3 λ$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 6 λ^{2} - 5 λ + 2 + λ^{4} + 1 (- λ + 1)$

Paso 5.6.2.6

Multiplica $- λ + 1$ por $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 6 λ^{2} - 5 λ + 2 + λ^{4} - λ + 1$

Paso 5.6.3

Resta $λ$ de $- 5 λ$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 6 λ^{2} - 6 λ + 2 + λ^{4} + 1$

Paso 5.6.4

Suma $2$ y $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 6 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} + 3$

Paso 5.6.5

Mueve $- 6 λ$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 6 λ^{2} + λ^{4} - 6 λ + 3$

Paso 5.6.6

Mueve $6 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + λ^{4} + 6 λ^{2} - 6 λ + 3$

Paso 5.6.7

Reordena $- 4 λ^{3}$ y $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 4 λ^{3} + 6 λ^{2} - 6 λ + 3$

Paso 6

Establece el polinomio característico igual a $0$ para obtener los valores propios $λ$ .

$λ^{4} - 4 λ^{3} + 6 λ^{2} - 6 λ + 3 = 0$

Paso 7

Resuelve $λ$

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Paso 7.1

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$λ \approx 1, 2.25992104$